Three-monotone spline approximation

AbstractFor r≥3, n∈N and each 3-monotone continuous function f on [a,b] (i.e., f is such that its third divided differences [x0,x1,x2,x3]f are nonnegative for all choices of distinct points x0,…,x3 in [a,b]), we construct a spline s of degree r and of minimal defect (i.e., s∈Cr−1[a,b]) with n−1 equidistant knots in (a,b), which is also 3-monotone and satisfies ‖f−s‖L∞[a,b]≤cω4(f,n−1,[a,b])∞, where ω4(f,t,[a,b])∞ is the (usual) fourth modulus of smoothness of f in the uniform norm. This answers in the affirmative the question raised in [8, Remark 3], which was the only remaining unproved Jackson-type estimate for uniform 3-monotone approximation by piecewise polynomial functions (ppfs) with uniformly spaced fixed knots.Moreover, we also prove a similar estimate in terms of the Ditzian–Totik fourth modulus of smoothness for splines with Chebyshev knots, and show that these estimates are no longer valid in the case of 3-monotone spline approximation in the Lp norm with p<∞. At the same time, positive results in the Lp case with p<∞ are still valid if one allows the knots of the approximating ppf to depend on f while still being controlled.These results confirm that 3-monotone approximation is the transition case between monotone and convex approximation (where most of the results are “positive”) and k-monotone approximation with k≥4 (where just about everything is “negative”)

On concentrators and related approximation constants

Pippenger ([Pip77]) showed the existence of (6m; 4m; 3m; 6)-concentrator for each positive integer m using a probabilistic method. We generalize his approach and prove existence of (6m; 4m; 3m; 5:05)-concentrator (which is no longer regular, but has fewer edges). We apply this result to improve the constant of approximation of almost additive set functions by additive set functions from 44:5 (established by Kalton and Roberts in [KR83]) to 39. We show a more direct connection of the latter problem to the Whitney type estimate for approximation of continuous functions on a cube in Rd by linear functions, and improve the estimate of this Whitney constant from 802 (proved by Brudnyi and Kalton in [BK00]) to 73

Спектры фото- и термостимулированной люминесценции нанокристаллов CdS[1-x]Se[x], диспергированных в боросиликатном стекле

Досліджено фотолюмінесценцію (ФЛ) і термостимульовану люмінесценцію (ТСЛ) нанокристалів CdS[1-x]Se[x] , вкраплених у боросилікатне скло. Отримано залежності спектрального положення смуг прикрайової та пов'язаної з поверхневими рівнями ФЛ від хімічного складу та розміру нанокристалів. Обговорюється різна температурна поведінка більш високоенергетичної смуги ТСЛ (максимум при 360-380 K, залежно від складу і розміру нанокристалів) і низькоенергетичної смуги (широкий макси- мум в інтервалі 350-450 K).Исследована фотолюминесценция (ФЛ) и термостимулированная люминесценция (ТСЛ) нанокристаллов CdS[1-x]Se[x]x, диспергированных в боросиликатном стекле. Получены зависимости спектрального положения полос прикраевой и связанной с поверхностными уровнями ФЛ от химического состава и размера нанокристаллов. Обсуждается разное температурное поведение более высокоэнергетической полосы ТСЛ (максимум при 360-380 K в звисимости от состава и размера нанокристаллов) и низкоэнергетической полосы (широкий максимум в интервале 350-450 K).Photoluminescence (PL) and thermally stimulated luminescence (TSL) of CdS[1-x]Se[x] nanocrystals embedded in borosilicate glass are studied. The dependence of the spectral positions of the near-edge and surface-mediated PL bands on the nanocrystal composition and size is discussed. A different temperature behaviour for the higher-energy TSL band (maximum at 360-380 K, dependent of the nanocrystal size and composition) and the lower-energy peak (broad maximum in the range 350-450 K) is discussed

Спектры фото- и термостимулированной люминесценции нанокристаллов CdS[1-x]Se[x], диспергированных в боросиликатном стекле

Досліджено фотолюмінесценцію (ФЛ) і термостимульовану люмінесценцію (ТСЛ) нанокристалів CdS[1-x]Se[x] , вкраплених у боросилікатне скло. Отримано залежності спектрального положення смуг прикрайової та пов'язаної з поверхневими рівнями ФЛ від хімічного складу та розміру нанокристалів. Обговорюється різна температурна поведінка більш високоенергетичної смуги ТСЛ (максимум при 360-380 K, залежно від складу і розміру нанокристалів) і низькоенергетичної смуги (широкий макси- мум в інтервалі 350-450 K).Исследована фотолюминесценция (ФЛ) и термостимулированная люминесценция (ТСЛ) нанокристаллов CdS[1-x]Se[x]x, диспергированных в боросиликатном стекле. Получены зависимости спектрального положения полос прикраевой и связанной с поверхностными уровнями ФЛ от химического состава и размера нанокристаллов. Обсуждается разное температурное поведение более высокоэнергетической полосы ТСЛ (максимум при 360-380 K в звисимости от состава и размера нанокристаллов) и низкоэнергетической полосы (широкий максимум в интервале 350-450 K).Photoluminescence (PL) and thermally stimulated luminescence (TSL) of CdS[1-x]Se[x] nanocrystals embedded in borosilicate glass are studied. The dependence of the spectral positions of the near-edge and surface-mediated PL bands on the nanocrystal composition and size is discussed. A different temperature behaviour for the higher-energy TSL band (maximum at 360-380 K, dependent of the nanocrystal size and composition) and the lower-energy peak (broad maximum in the range 350-450 K) is discussed